Resolver {l}{2x-3y=3}{3x+2y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 3 } \\ { 3 x + 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=3,3x+2y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=3$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y+3$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+3\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{3+3y}{2} na outra ecuación, 3x+2y=11.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}\right)+2y=11$$

Multiplica 3 por \frac{3+3y}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{9}{2}+2y=11$$

Suma \frac{9y}{2} a 2y.

$$\frac{13}{2}y+\frac{9}{2}=11$$

Resta \frac{9}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{13}{2}y=\frac{13}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{13}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3+3}{2}$$

Suma \frac{3}{2} a \frac{3}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=3,3x+2y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 3+\frac{3}{13}\times 11\\-\frac{3}{13}\times 3+\frac{2}{13}\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=3,3x+2y=11$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 3,2\times 3x+2\times 2y=2\times 11$$

Simplifica.

$$6x-9y=9,6x+4y=22$$

Resta 6x+4y=22 de 6x-9y=9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-9y-4y=9-22$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9y-4y=9-22$$

Suma -9y a -4y.

$$-13y=9-22$$

Suma 9 a -22.

$$-13y=-13$$

Divide ambos lados entre -13.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en 3x+2y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2=11$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$3x=9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=1$$