Resolver {l}{2x-3y=18}{3x+4y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 18 } \\ { 3 x + 4 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=18,3x+4y=-7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=18$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y+18$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+18\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 18+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+9$$

Substitúe x por 9+\frac{3y}{2} na outra ecuación, 3x+4y=-7.

$$3\left(\frac{3}{2}y+9\right)+4y=-7$$

Multiplica 3 por 9+\frac{3y}{2}.

$$\frac{9}{2}y+27+4y=-7$$

Suma \frac{9y}{2} a 4y.

$$\frac{17}{2}y+27=-7$$

Resta 27 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{17}{2}y=-34$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{17}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=\frac{3}{2}y+9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\left(-4\right)+9$$

Multiplica \frac{3}{2} por -4.

$$x=-6+9$$

Suma 9 a -6.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=18,3x+4y=-7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 18+\frac{3}{17}\left(-7\right)\\-\frac{3}{17}\times 18+\frac{2}{17}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=18,3x+4y=-7$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 18,2\times 3x+2\times 4y=2\left(-7\right)$$

Simplifica.

$$6x-9y=54,6x+8y=-14$$

Resta 6x+8y=-14 de 6x-9y=54 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-9y-8y=54+14$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9y-8y=54+14$$

Suma -9y a -8y.

$$-17y=54+14$$

Suma 54 a 14.

$$-17y=68$$

Divide ambos lados entre -17.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en 3x+4y=-7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+4\left(-4\right)=-7$$

Multiplica 4 por -4.

$$3x-16=-7$$

Suma 16 en ambos lados da ecuación.

$$3x=9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-4$$