Resolver {l}{2x-3y=11}{x+5y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 11 } \\ { x + 5 y = 16 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{103}{13} = 7\frac{12}{13} \approx 7.923076923$$

$$y = \frac{21}{13} = 1\frac{8}{13} \approx 1.615384615$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=11,x+5y=16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=11$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y+11$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+11\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3y+11.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}$$

Substitúe x por \frac{3y+11}{2} na outra ecuación, x+5y=16.

$$\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}+5y=16$$

Suma \frac{3y}{2} a 5y.

$$\frac{13}{2}y+\frac{11}{2}=16$$

Resta \frac{11}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{13}{2}y=\frac{21}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{13}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{21}{13}$$

Substitúe y por \frac{21}{13} en x=\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{21}{13}+\frac{11}{2}$$

Multiplica \frac{3}{2} por \frac{21}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{63}{26}+\frac{11}{2}$$

Suma \frac{11}{2} a \frac{63}{26} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{103}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{103}{13},y=\frac{21}{13}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=11,x+5y=16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 5-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 11+\frac{3}{13}\times 16\\-\frac{1}{13}\times 11+\frac{2}{13}\times 16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{103}{13}\\\frac{21}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{103}{13},y=\frac{21}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=11,x+5y=16$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x-3y=11,2x+2\times 5y=2\times 16$$

Simplifica.

$$2x-3y=11,2x+10y=32$$

Resta 2x+10y=32 de 2x-3y=11 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-3y-10y=11-32$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y-10y=11-32$$

Suma -3y a -10y.

$$-13y=11-32$$

Suma 11 a -32.

$$-13y=-21$$

Divide ambos lados entre -13.

$$y=\frac{21}{13}$$

Substitúe y por \frac{21}{13} en x+5y=16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+5\times \frac{21}{13}=16$$

Multiplica 5 por \frac{21}{13}.

$$x+\frac{105}{13}=16$$

Resta \frac{105}{13} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{103}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{103}{13},y=\frac{21}{13}$$