Resolver {l}{2x-3y=1}{3x+5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { 3 x + 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{8}{19}\approx 0.421052632$$

$$y=-\frac{1}{19}\approx -0.052631579$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=1$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y+1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3y+1.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por \frac{3y+1}{2} na outra ecuación, 3x+5y=1.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+5y=1$$

Multiplica 3 por \frac{3y+1}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}+5y=1$$

Suma \frac{9y}{2} a 5y.

$$\frac{19}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{19}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{19}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{1}{19}$$

Substitúe y por -\frac{1}{19} en x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{19}\right)+\frac{1}{2}$$

Multiplica \frac{3}{2} por -\frac{1}{19} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{3}{38}+\frac{1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a -\frac{3}{38} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{8}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5+3}{19}\\\frac{-3+2}{19}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\\-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3,2\times 3x+2\times 5y=2$$

Simplifica.

$$6x-9y=3,6x+10y=2$$

Resta 6x+10y=2 de 6x-9y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-9y-10y=3-2$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9y-10y=3-2$$

Suma -9y a -10y.

$$-19y=3-2$$

Suma 3 a -2.

$$-19y=1$$

Divide ambos lados entre -19.

$$y=-\frac{1}{19}$$

Substitúe y por -\frac{1}{19} en 3x+5y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+5\left(-\frac{1}{19}\right)=1$$

Multiplica 5 por -\frac{1}{19}.

$$3x-\frac{5}{19}=1$$

Suma \frac{5}{19} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{24}{19}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{8}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$