Resolver {l}{2x-3y=-5}{7x-6y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 5 } \\ { 7 x - 6 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=-5,7x-6y=-4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=-5$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y-5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{3y-5}{2} na outra ecuación, 7x-6y=-4.

$$7\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-6y=-4$$

Multiplica 7 por \frac{3y-5}{2}.

$$\frac{21}{2}y-\frac{35}{2}-6y=-4$$

Suma \frac{21y}{2} a -6y.

$$\frac{9}{2}y-\frac{35}{2}=-4$$

Suma \frac{35}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{9}{2}y=\frac{27}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{9}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\times 3-\frac{5}{2}$$

Multiplica \frac{3}{2} por 3.

$$x=\frac{9-5}{2}$$

Suma -\frac{5}{2} a \frac{9}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=-5,7x-6y=-4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\7&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\left(-6\right)-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\left(-6\right)-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{7}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\left(-5\right)+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\-\frac{7}{9}\left(-5\right)+\frac{2}{9}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=-5,7x-6y=-4$$

Para que 2x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\left(-5\right),2\times 7x+2\left(-6\right)y=2\left(-4\right)$$

Simplifica.

$$14x-21y=-35,14x-12y=-8$$

Resta 14x-12y=-8 de 14x-21y=-35 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$14x-14x-21y+12y=-35+8$$

Suma 14x a -14x. 14x e -14x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-21y+12y=-35+8$$

Suma -21y a 12y.

$$-9y=-35+8$$

Suma -35 a 8.

$$-9y=-27$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 7x-6y=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x-6\times 3=-4$$

Multiplica -6 por 3.

$$7x-18=-4$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$7x=14$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=3$$