Resolver {l}{2x-3y=-5}{4x+9y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 5 } \\ { 4 x + 9 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=-5$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y-5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{3y-5}{2} na outra ecuación, 4x+9y=-7.

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+9y=-7$$

Multiplica 4 por \frac{3y-5}{2}.

$$6y-10+9y=-7$$

Suma 6y a 9y.

$$15y-10=-7$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$15y=3$$

Divide ambos lados entre 15.

$$y=\frac{1}{5}$$

Substitúe y por \frac{1}{5} en x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{5}-\frac{5}{2}$$

Multiplica \frac{3}{2} por \frac{1}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{3}{10}-\frac{5}{2}$$

Suma -\frac{5}{2} a \frac{3}{10} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{11}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-5\right)+\frac{1}{10}\left(-7\right)\\-\frac{2}{15}\left(-5\right)+\frac{1}{15}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

Para que 2x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-5\right),2\times 4x+2\times 9y=2\left(-7\right)$$

Simplifica.

$$8x-12y=-20,8x+18y=-14$$

Resta 8x+18y=-14 de 8x-12y=-20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x-12y-18y=-20+14$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12y-18y=-20+14$$

Suma -12y a -18y.

$$-30y=-20+14$$

Suma -20 a 14.

$$-30y=-6$$

Divide ambos lados entre -30.

$$y=\frac{1}{5}$$

Substitúe y por \frac{1}{5} en 4x+9y=-7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+9\times \frac{1}{5}=-7$$

Multiplica 9 por \frac{1}{5}.

$$4x+\frac{9}{5}=-7$$

Resta \frac{9}{5} en ambos lados da ecuación.

$$4x=-\frac{44}{5}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-\frac{11}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$