Resolver {l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por y+2.

$$2x-15=3y+6$$

Resta 3y en ambos lados.

$$2x-15-3y=6$$

Engadir 15 en ambos lados.

$$2x-3y=6+15$$

Suma 6 e 15 para obter 21.

$$2x-3y=21$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 7 por x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Engadir 5y en ambos lados.

$$7x-28+5y=-1$$

Engadir 28 en ambos lados.

$$7x+5y=-1+28$$

Suma -1 e 28 para obter 27.

$$7x+5y=27$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=21$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y+21$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 21+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

Substitúe x por \frac{21+3y}{2} na outra ecuación, 7x+5y=27.

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

Multiplica 7 por \frac{21+3y}{2}.

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

Suma \frac{21y}{2} a 5y.

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

Resta \frac{147}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{31}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

Multiplica \frac{3}{2} por -3.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

Suma \frac{21}{2} a -\frac{9}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por y+2.

$$2x-15=3y+6$$

Resta 3y en ambos lados.

$$2x-15-3y=6$$

Engadir 15 en ambos lados.

$$2x-3y=6+15$$

Suma 6 e 15 para obter 21.

$$2x-3y=21$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 7 por x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Engadir 5y en ambos lados.

$$7x-28+5y=-1$$

Engadir 28 en ambos lados.

$$7x+5y=-1+28$$

Suma -1 e 28 para obter 27.

$$7x+5y=27$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por y+2.

$$2x-15=3y+6$$

Resta 3y en ambos lados.

$$2x-15-3y=6$$

Engadir 15 en ambos lados.

$$2x-3y=6+15$$

Suma 6 e 15 para obter 21.

$$2x-3y=21$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 7 por x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Engadir 5y en ambos lados.

$$7x-28+5y=-1$$

Engadir 28 en ambos lados.

$$7x+5y=-1+28$$

Suma -1 e 28 para obter 27.

$$7x+5y=27$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Para que 2x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

Simplifica.

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

Resta 14x+10y=54 de 14x-21y=147 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

Suma 14x a -14x. 14x e -14x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-21y-10y=147-54$$

Suma -21y a -10y.

$$-31y=147-54$$

Suma 147 a -54.

$$-31y=93$$

Divide ambos lados entre -31.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en 7x+5y=27. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

Multiplica 5 por -3.

$$7x-15=27$$

Suma 15 en ambos lados da ecuación.

$$7x=42$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-3$$