Resolver {l}{2x+y=6}{4x-y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=6$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+3 na outra ecuación, 4x-y=7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7$$

Multiplica 4 por -\frac{y}{2}+3.

$$-2y+12-y=7$$

Suma -2y a -y.

$$-3y+12=7$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=-5$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=\frac{5}{3}$$

Substitúe y por \frac{5}{3} en x=-\frac{1}{2}y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}+3$$

Multiplica -\frac{1}{2} por \frac{5}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{5}{6}+3$$

Suma 3 a -\frac{5}{6}.

$$x=\frac{13}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Para que 2x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

Simplifica.

$$8x+4y=24,8x-2y=14$$

Resta 8x-2y=14 de 8x+4y=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x+4y+2y=24-14$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y+2y=24-14$$

Suma 4y a 2y.

$$6y=24-14$$

Suma 24 a -14.

$$6y=10$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=\frac{5}{3}$$

Substitúe y por \frac{5}{3} en 4x-y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-\frac{5}{3}=7$$

Suma \frac{5}{3} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{26}{3}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{13}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$