Resolver {l}{2x+y=5}{x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 5 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=5,x-y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=5$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+5.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+5}{2} na outra ecuación, x-y=1.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}-y=1$$

Suma -\frac{y}{2} a -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}=1$$

Resta \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{3}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{-1+5}{2}$$

Suma \frac{5}{2} a -\frac{1}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=5,x-y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5+\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=5,x-y=1$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x+y=5,2x+2\left(-1\right)y=2$$

Simplifica.

$$2x+y=5,2x-2y=2$$

Resta 2x-2y=2 de 2x+y=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+y+2y=5-2$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+2y=5-2$$

Suma y a 2y.

$$3y=5-2$$

Suma 5 a -2.

$$3y=3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x-y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-1=1$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=1$$