Resolver {l}{2x+y=4}{3x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=4,3x+2y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=4$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+4.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+2 na outra ecuación, 3x+2y=4.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+2\right)+2y=4$$

Multiplica 3 por -\frac{y}{2}+2.

$$-\frac{3}{2}y+6+2y=4$$

Suma -\frac{3y}{2} a 2y.

$$\frac{1}{2}y+6=4$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}y=-2$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=-\frac{1}{2}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)+2$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -4.

$$x=2+2$$

Suma 2 a 2.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=4,3x+2y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 4-4\\-3\times 4+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=4,3x+2y=4$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 4$$

Simplifica.

$$6x+3y=12,6x+4y=8$$

Resta 6x+4y=8 de 6x+3y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+3y-4y=12-8$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-4y=12-8$$

Suma 3y a -4y.

$$-y=12-8$$

Suma 12 a -8.

$$-y=4$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en 3x+2y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\left(-4\right)=4$$

Multiplica 2 por -4.

$$3x-8=4$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$3x=12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=-4$$