Resolver {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=3$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+3$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+3}{2} na outra ecuación, x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Suma -\frac{y}{2} a y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Suma \frac{3}{2} a -\frac{7}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Resta x+y=5 de 2x+y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x-x=3-5$$

Suma 2x a -x.

$$x=3-5$$

Suma 3 a -5.

$$x=-2$$

Substitúe x por -2 en x+y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-2+y=5$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$y=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=7$$