Resolver {l}{2x+y=11}{5x+3y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 11 } \\ { 5 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=11$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+11$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+11\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+11.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+11}{2} na outra ecuación, 5x+3y=30.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)+3y=30$$

Multiplica 5 por \frac{-y+11}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{55}{2}+3y=30$$

Suma -\frac{5y}{2} a 3y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{55}{2}=30$$

Resta \frac{55}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{11}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 5.

$$x=\frac{-5+11}{2}$$

Suma \frac{11}{2} a -\frac{5}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5}&-\frac{1}{2\times 3-5}\\-\frac{5}{2\times 3-5}&\frac{2}{2\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 11-30\\-5\times 11+2\times 30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

Para que 2x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$5\times 2x+5y=5\times 11,2\times 5x+2\times 3y=2\times 30$$

Simplifica.

$$10x+5y=55,10x+6y=60$$

Resta 10x+6y=60 de 10x+5y=55 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+5y-6y=55-60$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y-6y=55-60$$

Suma 5y a -6y.

$$-y=55-60$$

Suma 55 a -60.

$$-y=-5$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en 5x+3y=30. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+3\times 5=30$$

Multiplica 3 por 5.

$$5x+15=30$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$5x=15$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=5$$