Resolver {l}{2x+y=-6}{y=1/4x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x + 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{4}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=-6$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y-6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}-3 na outra ecuación, -\frac{1}{4}x+y=3.

$$-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

Multiplica -\frac{1}{4} por -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{1}{8}y+\frac{3}{4}+y=3$$

Suma \frac{y}{8} a y.

$$\frac{9}{8}y+\frac{3}{4}=3$$

Resta \frac{3}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{9}{8}y=\frac{9}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{9}{8}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{1}{2}y-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2-3$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 2.

$$x=-1-3$$

Suma -3 a -1.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{4}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&-\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{4}}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&\frac{2}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&-\frac{4}{9}\\\frac{1}{9}&\frac{8}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)-\frac{4}{9}\times 3\\\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{8}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{4}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Resta -\frac{1}{4}x+y=3 de 2x+y=-6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x+\frac{1}{4}x+y-y=-6-3$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x+\frac{1}{4}x=-6-3$$

Suma 2x a \frac{x}{4}.

$$\frac{9}{4}x=-6-3$$

Suma -6 a -3.

$$\frac{9}{4}x=-9$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{9}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-4$$

Substitúe x por -4 en -\frac{1}{4}x+y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-\frac{1}{4}\left(-4\right)+y=3$$

Multiplica -\frac{1}{4} por -4.

$$1+y=3$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$y=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=2$$