Resolver {l}{2x+y=-2}{4x+5y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 2 } \\ { 4 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=-2$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y-2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-2\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y-2.

$$x=-\frac{1}{2}y-1$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}-1 na outra ecuación, 4x+5y=8.

$$4\left(-\frac{1}{2}y-1\right)+5y=8$$

Multiplica 4 por -\frac{y}{2}-1.

$$-2y-4+5y=8$$

Suma -2y a 5y.

$$3y-4=8$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$3y=12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=-\frac{1}{2}y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4-1$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 4.

$$x=-2-1$$

Suma -1 a -2.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-4}&-\frac{1}{2\times 5-4}\\-\frac{4}{2\times 5-4}&\frac{2}{2\times 5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\left(-2\right)-\frac{1}{6}\times 8\\-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

Para que 2x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$4\times 2x+4y=4\left(-2\right),2\times 4x+2\times 5y=2\times 8$$

Simplifica.

$$8x+4y=-8,8x+10y=16$$

Resta 8x+10y=16 de 8x+4y=-8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x+4y-10y=-8-16$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-10y=-8-16$$

Suma 4y a -10y.

$$-6y=-8-16$$

Suma -8 a -16.

$$-6y=-24$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en 4x+5y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+5\times 4=8$$

Multiplica 5 por 4.

$$4x+20=8$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$4x=-12$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=4$$