Resolver {l}{2x+8y=16}{11-x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 16 } \\ { 11 - x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=10$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+8y=16$$

Resta 8y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-8y+16$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+16\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -8y+16.

$$x=-4y+8$$

Substitúe x por -4y+8 na outra ecuación, -x+2y+11=0.

$$-\left(-4y+8\right)+2y+11=0$$

Multiplica -1 por -4y+8.

$$4y-8+2y+11=0$$

Suma 4y a 2y.

$$6y-8+11=0$$

Suma -8 a 11.

$$6y+3=0$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$6y=-3$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Substitúe y por -\frac{1}{2} en x=-4y+8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)+8$$

Multiplica -4 por -\frac{1}{2}.

$$x=2+8$$

Suma 8 a 2.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}&-\frac{8}{2\times 2-8\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-8\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 16-\frac{2}{3}\left(-11\right)\\\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{6}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Para que 2x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-2x-8y=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y+2\times 11=0$$

Simplifica.

$$-2x-8y=-16,-2x+4y+22=0$$

Resta -2x+4y+22=0 de -2x-8y=-16 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x-8y-4y-22=-16$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y-4y-22=-16$$

Suma -8y a -4y.

$$-12y-22=-16$$

Suma 22 en ambos lados da ecuación.

$$-12y=6$$

Divide ambos lados entre -12.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Substitúe y por -\frac{1}{2} en -x+2y+11=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+2\left(-\frac{1}{2}\right)+11=0$$

Multiplica 2 por -\frac{1}{2}.

$$-x-1+11=0$$

Suma -1 a 11.

$$-x+10=0$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-10$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$