Resolver {l}{2x+4y=12}{5x-8y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 5 x - 8 y = 16 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} \approx 4.444444444$$

$$y=\frac{7}{9}\approx 0.777777778$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+4y=12$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-4y+12$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -4y+12.

$$x=-2y+6$$

Substitúe x por -2y+6 na outra ecuación, 5x-8y=16.

$$5\left(-2y+6\right)-8y=16$$

Multiplica 5 por -2y+6.

$$-10y+30-8y=16$$

Suma -10y a -8y.

$$-18y+30=16$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$-18y=-14$$

Divide ambos lados entre -18.

$$y=\frac{7}{9}$$

Substitúe y por \frac{7}{9} en x=-2y+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times \frac{7}{9}+6$$

Multiplica -2 por \frac{7}{9}.

$$x=-\frac{14}{9}+6$$

Suma 6 a -\frac{14}{9}.

$$x=\frac{40}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-8\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-8\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-8\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{36}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 16\\\frac{5}{36}\times 12-\frac{1}{18}\times 16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{9}\\\frac{7}{9}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Para que 2x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 12,2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 16$$

Simplifica.

$$10x+20y=60,10x-16y=32$$

Resta 10x-16y=32 de 10x+20y=60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+20y+16y=60-32$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$20y+16y=60-32$$

Suma 20y a 16y.

$$36y=60-32$$

Suma 60 a -32.

$$36y=28$$

Divide ambos lados entre 36.

$$y=\frac{7}{9}$$

Substitúe y por \frac{7}{9} en 5x-8y=16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-8\times \frac{7}{9}=16$$

Multiplica -8 por \frac{7}{9}.

$$5x-\frac{56}{9}=16$$

Suma \frac{56}{9} en ambos lados da ecuación.

$$5x=\frac{200}{9}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{40}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$