Resolver {l}{2x+4y=1}{2x-6y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x - 6 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+4y=1$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-4y+1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -4y+1.

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por -2y+\frac{1}{2} na outra ecuación, 2x-6y=-4.

$$2\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-6y=-4$$

Multiplica 2 por -2y+\frac{1}{2}.

$$-4y+1-6y=-4$$

Suma -4y a -6y.

$$-10y+1=-4$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-10y=-5$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=\frac{1}{2}$$

Substitúe y por \frac{1}{2} en x=-2y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$

Multiplica -2 por \frac{1}{2}.

$$x=-1+\frac{1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a -1.

$$x=-\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-4\times 2}&-\frac{4}{2\left(-6\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}&\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}-\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

Resta 2x-6y=-4 de 2x+4y=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+4y+6y=1+4$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y+6y=1+4$$

Suma 4y a 6y.

$$10y=1+4$$

Suma 1 a 4.

$$10y=5$$

Divide ambos lados entre 10.

$$y=\frac{1}{2}$$

Substitúe y por \frac{1}{2} en 2x-6y=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-6\times \frac{1}{2}=-4$$

Multiplica -6 por \frac{1}{2}.

$$2x-3=-4$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$2x=-1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$