Resolver {l}{2x+3y-1=x+6}{y-x-8=x+6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y - 1 = x + 6 } \\ { y - x - 8 = x + 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-5$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$2x+3y-1-x=6$$

Combina 2x e -x para obter x.

$$x+3y-1=6$$

Engadir 1 en ambos lados.

$$x+3y=6+1$$

Suma 6 e 1 para obter 7.

$$x+3y=7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x-8-x=6$$

Combina -x e -x para obter -2x.

$$y-2x-8=6$$

Engadir 8 en ambos lados.

$$y-2x=6+8$$

Suma 6 e 8 para obter 14.

$$y-2x=14$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+3y=7,-2x+y=14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+3y=7$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$x=-3y+7$$

Substitúe x por -3y+7 na outra ecuación, -2x+y=14.

$$-2\left(-3y+7\right)+y=14$$

Multiplica -2 por -3y+7.

$$6y-14+y=14$$

Suma 6y a y.

$$7y-14=14$$

Suma 14 en ambos lados da ecuación.

$$7y=28$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=-3y+7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3\times 4+7$$

Multiplica -3 por 4.

$$x=-12+7$$

Suma 7 a -12.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$2x+3y-1-x=6$$

Combina 2x e -x para obter x.

$$x+3y-1=6$$

Engadir 1 en ambos lados.

$$x+3y=6+1$$

Suma 6 e 1 para obter 7.

$$x+3y=7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x-8-x=6$$

Combina -x e -x para obter -2x.

$$y-2x-8=6$$

Engadir 8 en ambos lados.

$$y-2x=6+8$$

Suma 6 e 8 para obter 14.

$$y-2x=14$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+3y=7,-2x+y=14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{1-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-3\left(-2\right)}&\frac{1}{1-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 7-\frac{3}{7}\times 14\\\frac{2}{7}\times 7+\frac{1}{7}\times 14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-5,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$2x+3y-1-x=6$$

Combina 2x e -x para obter x.

$$x+3y-1=6$$

Engadir 1 en ambos lados.

$$x+3y=6+1$$

Suma 6 e 1 para obter 7.

$$x+3y=7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x-8-x=6$$

Combina -x e -x para obter -2x.

$$y-2x-8=6$$

Engadir 8 en ambos lados.

$$y-2x=6+8$$

Suma 6 e 8 para obter 14.

$$y-2x=14$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+3y=7,-2x+y=14$$

Para que x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-2x-2\times 3y=-2\times 7,-2x+y=14$$

Simplifica.

$$-2x-6y=-14,-2x+y=14$$

Resta -2x+y=14 de -2x-6y=-14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x-6y-y=-14-14$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y-y=-14-14$$

Suma -6y a -y.

$$-7y=-14-14$$

Suma -14 a -14.

$$-7y=-28$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en -2x+y=14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x+4=14$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=10$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=4$$