Resolver {l}{2x+3y=780}{5x+4y=1320}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 780 } \\ { 5 x + 4 y = 1320 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=120$$

$$y=180$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=780$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+780$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+780\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+780.

$$x=-\frac{3}{2}y+390$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+390 na outra ecuación, 5x+4y=1320.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+390\right)+4y=1320$$

Multiplica 5 por -\frac{3y}{2}+390.

$$-\frac{15}{2}y+1950+4y=1320$$

Suma -\frac{15y}{2} a 4y.

$$-\frac{7}{2}y+1950=1320$$

Resta 1950 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{2}y=-630$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=180$$

Substitúe y por 180 en x=-\frac{3}{2}y+390. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times 180+390$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 180.

$$x=-270+390$$

Suma 390 a -270.

$$x=120$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=120,y=180$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 780+\frac{3}{7}\times 1320\\\frac{5}{7}\times 780-\frac{2}{7}\times 1320\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\180\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=120,y=180$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

Para que 2x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 780,2\times 5x+2\times 4y=2\times 1320$$

Simplifica.

$$10x+15y=3900,10x+8y=2640$$

Resta 10x+8y=2640 de 10x+15y=3900 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+15y-8y=3900-2640$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$15y-8y=3900-2640$$

Suma 15y a -8y.

$$7y=3900-2640$$

Suma 3900 a -2640.

$$7y=1260$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=180$$

Substitúe y por 180 en 5x+4y=1320. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+4\times 180=1320$$

Multiplica 4 por 180.

$$5x+720=1320$$

Resta 720 en ambos lados da ecuación.

$$5x=600$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=120$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=120,y=180$$