Resolver {l}{2x+3y=7,80}{5x+4y=13,20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7,80 } \\ { 5 x + 4 y = 13,20 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1,2$$

$$y=1,8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=7,8;5x+4y=13,2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=7,8$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+7,8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7,8\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+7,8.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+\frac{39}{10} na outra ecuación, 5x+4y=13,2.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}\right)+4y=13,2$$

Multiplica 5 por -\frac{3y}{2}+\frac{39}{10}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{39}{2}+4y=13,2$$

Suma -\frac{15y}{2} a 4y.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{39}{2}=13,2$$

Resta \frac{39}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{63}{10}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{9}{5}$$

Substitúe y por \frac{9}{5} en x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{9}{5}+\frac{39}{10}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por \frac{9}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{-27+39}{10}$$

Suma \frac{39}{10} a -\frac{27}{10} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{6}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{6}{5};y=\frac{9}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=7,8;5x+4y=13,2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 7,8+\frac{3}{7}\times 13,2\\\frac{5}{7}\times 7,8-\frac{2}{7}\times 13,2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{6}{5};y=\frac{9}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=7,8;5x+4y=13,2$$

Para que 2x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 7,8;2\times 5x+2\times 4y=2\times 13,2$$

Simplifica.

$$10x+15y=39;10x+8y=26,4$$

Resta 10x+8y=26,4 de 10x+15y=39 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+15y-8y=39-26,4$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$15y-8y=39-26,4$$

Suma 15y a -8y.

$$7y=39-26,4$$

Suma 39 a -26,4.

$$7y=12,6$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=\frac{9}{5}$$

Substitúe y por \frac{9}{5} en 5x+4y=13,2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+4\times \frac{9}{5}=13,2$$

Multiplica 4 por \frac{9}{5}.

$$5x+\frac{36}{5}=13,2$$

Resta \frac{36}{5} en ambos lados da ecuación.

$$5x=6$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{6}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{6}{5};y=\frac{9}{5}$$