Resolver {l}{2x+3y=23}{x-2y=-13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 23 } \\ { x - 2 y = - 13 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=23,x-2y=-13$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=23$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+23$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+23\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+23.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{23}{2}$$

Substitúe x por \frac{-3y+23}{2} na outra ecuación, x-2y=-13.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{23}{2}-2y=-13$$

Suma -\frac{3y}{2} a -2y.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{23}{2}=-13$$

Resta \frac{23}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{49}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en x=-\frac{3}{2}y+\frac{23}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times 7+\frac{23}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 7.

$$x=\frac{-21+23}{2}$$

Suma \frac{23}{2} a -\frac{21}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=23,x-2y=-13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 23+\frac{3}{7}\left(-13\right)\\\frac{1}{7}\times 23-\frac{2}{7}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=23,x-2y=-13$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x+3y=23,2x+2\left(-2\right)y=2\left(-13\right)$$

Simplifica.

$$2x+3y=23,2x-4y=-26$$

Resta 2x-4y=-26 de 2x+3y=23 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+3y+4y=23+26$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y+4y=23+26$$

Suma 3y a 4y.

$$7y=23+26$$

Suma 23 a 26.

$$7y=49$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en x-2y=-13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-2\times 7=-13$$

Multiplica -2 por 7.

$$x-14=-13$$

Suma 14 en ambos lados da ecuación.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=7$$