Resolver {l}{2x+3y=2k+1}{3x-2y=4k+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 k + 1 } \\ { 3 x - 2 y = 4 k + 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{16k+11}{13}$$

$$y=\frac{-2k-3}{13}$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=2k+1,3x-2y=4k+3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=2k+1$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+2k+1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2k+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+2k+1.

$$x=-\frac{3}{2}y+k+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+k+\frac{1}{2} na outra ecuación, 3x-2y=4k+3.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+k+\frac{1}{2}\right)-2y=4k+3$$

Multiplica 3 por -\frac{3y}{2}+k+\frac{1}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+3k+\frac{3}{2}-2y=4k+3$$

Suma -\frac{9y}{2} a -2y.

$$-\frac{13}{2}y+3k+\frac{3}{2}=4k+3$$

Resta 3k+\frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{13}{2}y=k+\frac{3}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{13}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{-2k-3}{13}$$

Substitúe y por \frac{-3-2k}{13} en x=-\frac{3}{2}y+k+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{-2k-3}{13}+k+\frac{1}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por \frac{-3-2k}{13}.

$$x=\frac{3k}{13}+\frac{9}{26}+k+\frac{1}{2}$$

Suma k+\frac{1}{2} a \frac{9}{26}+\frac{3k}{13}.

$$x=\frac{16k+11}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{16k+11}{13},y=\frac{-2k-3}{13}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=2k+1,3x-2y=4k+3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k+1\\4k+3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2k+1\\4k+3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2k+1\\4k+3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2k+1\\4k+3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2k+1\\4k+3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2k+1\\4k+3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(2k+1\right)+\frac{3}{13}\left(4k+3\right)\\\frac{3}{13}\left(2k+1\right)-\frac{2}{13}\left(4k+3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16k+11}{13}\\\frac{-2k-3}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{16k+11}{13},y=\frac{-2k-3}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=2k+1,3x-2y=4k+3$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\left(2k+1\right),2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(4k+3\right)$$

Simplifica.

$$6x+9y=6k+3,6x-4y=8k+6$$

Resta 6x-4y=8k+6 de 6x+9y=6k+3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+9y+4y=6k+3-8k-6$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y+4y=6k+3-8k-6$$

Suma 9y a 4y.

$$13y=6k+3-8k-6$$

Suma 6k+3 a -6-8k.

$$13y=-2k-3$$

Divide ambos lados entre 13.

$$y=\frac{-2k-3}{13}$$

Substitúe y por \frac{-2k-3}{13} en 3x-2y=4k+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-2\times \frac{-2k-3}{13}=4k+3$$

Multiplica -2 por \frac{-2k-3}{13}.

$$3x+\frac{4k+6}{13}=4k+3$$

Resta \frac{6+4k}{13} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{48k+33}{13}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{16k+11}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{16k+11}{13},y=\frac{-2k-3}{13}$$