Resolver {l}{2x+3y=15.5p}{5x+6y=350}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 15.5 p } \\ { 5 x + 6 y = 350 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=350-31p$$

$$y=\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=\frac{31p}{2},5x+6y=350$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=\frac{31p}{2}$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+\frac{31p}{2}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+\frac{31p}{2}\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+\frac{31p}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{31p}{4}$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+\frac{31p}{4} na outra ecuación, 5x+6y=350.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{31p}{4}\right)+6y=350$$

Multiplica 5 por -\frac{3y}{2}+\frac{31p}{4}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{155p}{4}+6y=350$$

Suma -\frac{15y}{2} a 6y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{155p}{4}=350$$

Resta \frac{155p}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{155p}{4}+350$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}$$

Substitúe y por -\frac{700}{3}+\frac{155p}{6} en x=-\frac{3}{2}y+\frac{31p}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\left(\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}\right)+\frac{31p}{4}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por -\frac{700}{3}+\frac{155p}{6}.

$$x=-\frac{155p}{4}+350+\frac{31p}{4}$$

Suma \frac{31p}{4} a 350-\frac{155p}{4}.

$$x=350-31p$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=350-31p,y=\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=\frac{31p}{2},5x+6y=350$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31p}{2}\\350\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{31p}{2}\\350\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{31p}{2}\\350\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{31p}{2}\\350\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 6-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 6-3\times 5}&\frac{2}{2\times 6-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{31p}{2}\\350\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{31p}{2}\\350\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times \frac{31p}{2}+350\\\frac{5}{3}\times \frac{31p}{2}-\frac{2}{3}\times 350\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}350-31p\\\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=350-31p,y=\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=\frac{31p}{2},5x+6y=350$$

Para que 2x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times \frac{31p}{2},2\times 5x+2\times 6y=2\times 350$$

Simplifica.

$$10x+15y=\frac{155p}{2},10x+12y=700$$

Resta 10x+12y=700 de 10x+15y=\frac{155p}{2} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+15y-12y=\frac{155p}{2}-700$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$15y-12y=\frac{155p}{2}-700$$

Suma 15y a -12y.

$$3y=\frac{155p}{2}-700$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}$$

Substitúe y por -\frac{700}{3}+\frac{155p}{6} en 5x+6y=350. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+6\left(\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}\right)=350$$

Multiplica 6 por -\frac{700}{3}+\frac{155p}{6}.

$$5x+155p-1400=350$$

Resta -1400+155p en ambos lados da ecuación.

$$5x=1750-155p$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=350-31p$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=350-31p,y=\frac{155p}{6}-\frac{700}{3}$$