Resolver {l}{2x+3y=1}{3x-4y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 1 } \\ { 3 x - 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{13}{17}\approx 0.764705882$$

$$y=-\frac{3}{17}\approx -0.176470588$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=1,3x-4y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=1$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+1.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por \frac{-3y+1}{2} na outra ecuación, 3x-4y=3.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)-4y=3$$

Multiplica 3 por \frac{-3y+1}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}-4y=3$$

Suma -\frac{9y}{2} a -4y.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{3}{2}=3$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{17}{2}y=\frac{3}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{17}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{3}{17}$$

Substitúe y por -\frac{3}{17} en x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{17}\right)+\frac{1}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por -\frac{3}{17} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{9}{34}+\frac{1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a \frac{9}{34} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{13}{17}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{13}{17},y=-\frac{3}{17}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=1,3x-4y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}+\frac{3}{17}\times 3\\\frac{3}{17}-\frac{2}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{17}\\-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{13}{17},y=-\frac{3}{17}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=1,3x-4y=3$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3,2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\times 3$$

Simplifica.

$$6x+9y=3,6x-8y=6$$

Resta 6x-8y=6 de 6x+9y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+9y+8y=3-6$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y+8y=3-6$$

Suma 9y a 8y.

$$17y=3-6$$

Suma 3 a -6.

$$17y=-3$$

Divide ambos lados entre 17.

$$y=-\frac{3}{17}$$

Substitúe y por -\frac{3}{17} en 3x-4y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-4\left(-\frac{3}{17}\right)=3$$

Multiplica -4 por -\frac{3}{17}.

$$3x+\frac{12}{17}=3$$

Resta \frac{12}{17} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{39}{17}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{13}{17}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{13}{17},y=-\frac{3}{17}$$