\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = - 1 } \\ { 4 x + y = 3 } \end{array} \right.
Resolver x, y
x=1
y=-1
Gráfico
Compartir
Copiado a portapapeis
2x+3y=-1,4x+y=3
Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.
2x+3y=-1
Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.
2x=-3y-1
Resta 3y en ambos lados da ecuación.
x=\frac{1}{2}\left(-3y-1\right)
Divide ambos lados entre 2.
x=-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}
Multiplica \frac{1}{2} por -3y-1.
4\left(-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+y=3
Substitúe x por \frac{-3y-1}{2} na outra ecuación, 4x+y=3.
-6y-2+y=3
Multiplica 4 por \frac{-3y-1}{2}.
-5y-2=3
Suma -6y a y.
-5y=5
Suma 2 en ambos lados da ecuación.
y=-1
Divide ambos lados entre -5.
x=-\frac{3}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{2}
Substitúe y por -1 en x=-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.
x=\frac{3-1}{2}
Multiplica -\frac{3}{2} por -1.
x=1
Suma -\frac{1}{2} a \frac{3}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.
x=1,y=-1
O sistema xa funciona correctamente.
2x+3y=-1,4x+y=3
Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.
\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)
Escribe as ecuacións en forma matricial.
inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)
Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)
O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)
Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 4}&-\frac{3}{2-3\times 4}\\-\frac{4}{2-3\times 4}&\frac{2}{2-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)
A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)
Fai o cálculo.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\left(-1\right)+\frac{3}{10}\times 3\\\frac{2}{5}\left(-1\right)-\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)
Multiplica as matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)
Fai o cálculo.
x=1,y=-1
Extrae os elementos da matriz x e y.
2x+3y=-1,4x+y=3
Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.
4\times 2x+4\times 3y=4\left(-1\right),2\times 4x+2y=2\times 3
Para que 2x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.
8x+12y=-4,8x+2y=6
Simplifica.
8x-8x+12y-2y=-4-6
Resta 8x+2y=6 de 8x+12y=-4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.
12y-2y=-4-6
Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.
10y=-4-6
Suma 12y a -2y.
10y=-10
Suma -4 a -6.
y=-1
Divide ambos lados entre 10.
4x-1=3
Substitúe y por -1 en 4x+y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.
4x=4
Suma 1 en ambos lados da ecuación.
x=1
Divide ambos lados entre 4.
x=1,y=-1
O sistema xa funciona correctamente.
Exemplos
Ecuación cuadrática
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometría
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Ecuación linear
y = 3x + 4
Aritmética
699 * 533
Matriz
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Ecuación simultánea
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Diferenciación
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integración
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Límites
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}