Resolver {l}{2x+14y=-28}{-4x-14y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 14 y = - 28 } \\ { - 4 x - 14 y = 28 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+14y=-28$$

Resta 14y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-14y-28$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-14y-28\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -14y-28.

$$x=-7y-14$$

Substitúe x por -7y-14 na outra ecuación, -4x-14y=28.

$$-4\left(-7y-14\right)-14y=28$$

Multiplica -4 por -7y-14.

$$28y+56-14y=28$$

Suma 28y a -14y.

$$14y+56=28$$

Resta 56 en ambos lados da ecuación.

$$14y=-28$$

Divide ambos lados entre 14.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=-7y-14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-7\left(-2\right)-14$$

Multiplica -7 por -2.

$$x=14-14$$

Suma -14 a 14.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&\frac{2}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-28\right)-\frac{1}{2}\times 28\\\frac{1}{7}\left(-28\right)+\frac{1}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

Para que 2x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-4\times 2x-4\times 14y=-4\left(-28\right),2\left(-4\right)x+2\left(-14\right)y=2\times 28$$

Simplifica.

$$-8x-56y=112,-8x-28y=56$$

Resta -8x-28y=56 de -8x-56y=112 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-8x+8x-56y+28y=112-56$$

Suma -8x a 8x. -8x e 8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-56y+28y=112-56$$

Suma -56y a 28y.

$$-28y=112-56$$

Suma 112 a -56.

$$-28y=56$$

Divide ambos lados entre -28.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en -4x-14y=28. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x-14\left(-2\right)=28$$

Multiplica -14 por -2.

$$-4x+28=28$$

Resta 28 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=0$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-2$$