Resolver {l}{2x+10=4y-16x}{10y-10x=11y-12x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 10 = 4 y - 16 x } \\ { 10 y - 10 x = 11 y - 12 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4y en ambos lados.

$$2x+10-4y=-16x$$

Engadir 16x en ambos lados.

$$2x+10-4y+16x=0$$

Combina 2x e 16x para obter 18x.

$$18x+10-4y=0$$

Resta 10 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$18x-4y=-10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 11y en ambos lados.

$$10y-10x-11y=-12x$$

Combina 10y e -11y para obter -y.

$$-y-10x=-12x$$

Engadir 12x en ambos lados.

$$-y-10x+12x=0$$

Combina -10x e 12x para obter 2x.

$$-y+2x=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$18x-4y=-10$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$18x=4y-10$$

Divide ambos lados entre 18.

$$x=\frac{1}{18}\left(4y-10\right)$$

Multiplica \frac{1}{18} por 4y-10.

$$x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}$$

Substitúe x por \frac{2y-5}{9} na outra ecuación, 2x-y=0.

$$2\left(\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}\right)-y=0$$

Multiplica 2 por \frac{2y-5}{9}.

$$\frac{4}{9}y-\frac{10}{9}-y=0$$

Suma \frac{4y}{9} a -y.

$$-\frac{5}{9}y-\frac{10}{9}=0$$

Suma \frac{10}{9} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{9}y=\frac{10}{9}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{9}\left(-2\right)-\frac{5}{9}$$

Multiplica \frac{2}{9} por -2.

$$x=\frac{-4-5}{9}$$

Suma -\frac{5}{9} a -\frac{4}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4y en ambos lados.

$$2x+10-4y=-16x$$

Engadir 16x en ambos lados.

$$2x+10-4y+16x=0$$

Combina 2x e 16x para obter 18x.

$$18x+10-4y=0$$

Resta 10 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$18x-4y=-10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 11y en ambos lados.

$$10y-10x-11y=-12x$$

Combina 10y e -11y para obter -y.

$$-y-10x=-12x$$

Engadir 12x en ambos lados.

$$-y-10x+12x=0$$

Combina -10x e 12x para obter 2x.

$$-y+2x=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{18}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4y en ambos lados.

$$2x+10-4y=-16x$$

Engadir 16x en ambos lados.

$$2x+10-4y+16x=0$$

Combina 2x e 16x para obter 18x.

$$18x+10-4y=0$$

Resta 10 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$18x-4y=-10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 11y en ambos lados.

$$10y-10x-11y=-12x$$

Combina 10y e -11y para obter -y.

$$-y-10x=-12x$$

Engadir 12x en ambos lados.

$$-y-10x+12x=0$$

Combina -10x e 12x para obter 2x.

$$-y+2x=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

Para que 18x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 18.

$$2\times 18x+2\left(-4\right)y=2\left(-10\right),18\times 2x+18\left(-1\right)y=0$$

Simplifica.

$$36x-8y=-20,36x-18y=0$$

Resta 36x-18y=0 de 36x-8y=-20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$36x-36x-8y+18y=-20$$

Suma 36x a -36x. 36x e -36x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y+18y=-20$$

Suma -8y a 18y.

$$10y=-20$$

Divide ambos lados entre 10.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en 2x-y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-\left(-2\right)=0$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$2x=-2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-2$$