Resolver {l}{2p+3x=10}{p-x+2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 x = 10 } \\ { p - x + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver p, x

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$p=\frac{4}{5}=0.8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a p mediante o illamento de p no lado esquerdo do signo igual.

$$2p+3x=10$$

Resta 3x en ambos lados da ecuación.

$$2p=-3x+10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3x+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3x+10.

$$p=-\frac{3}{2}x+5$$

Substitúe p por -\frac{3x}{2}+5 na outra ecuación, p-x+2=0.

$$-\frac{3}{2}x+5-x+2=0$$

Suma -\frac{3x}{2} a -x.

$$-\frac{5}{2}x+5+2=0$$

Suma 5 a 2.

$$-\frac{5}{2}x+7=0$$

Resta 7 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{2}x=-7$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{14}{5}$$

Substitúe x por \frac{14}{5} en p=-\frac{3}{2}x+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar p directamente.

$$p=-\frac{3}{2}\times \frac{14}{5}+5$$

Multiplica -\frac{3}{2} por \frac{14}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$p=-\frac{21}{5}+5$$

Suma 5 a -\frac{21}{5}.

$$p=\frac{4}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10+\frac{3}{5}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 10-\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz p e x.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Para que 2p e p sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2p+3x=10,2p+2\left(-1\right)x+2\times 2=0$$

Simplifica.

$$2p+3x=10,2p-2x+4=0$$

Resta 2p-2x+4=0 de 2p+3x=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2p-2p+3x+2x-4=10$$

Suma 2p a -2p. 2p e -2p anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3x+2x-4=10$$

Suma 3x a 2x.

$$5x-4=10$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$5x=14$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{14}{5}$$

Substitúe x por \frac{14}{5} en p-x+2=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar p directamente.

$$p-\frac{14}{5}+2=0$$

Suma -\frac{14}{5} a 2.

$$p-\frac{4}{5}=0$$

Suma \frac{4}{5} en ambos lados da ecuación.

$$p=\frac{4}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$