Resolver {l}{2p+3m=8}{p+2m=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 m = 8 } \\ { p + 2 m = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver p, m

$$p=-2$$

$$m=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a p mediante o illamento de p no lado esquerdo do signo igual.

$$2p+3m=8$$

Resta 3m en ambos lados da ecuación.

$$2p=-3m+8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3m+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3m+8.

$$p=-\frac{3}{2}m+4$$

Substitúe p por -\frac{3m}{2}+4 na outra ecuación, p+2m=6.

$$-\frac{3}{2}m+4+2m=6$$

Suma -\frac{3m}{2} a 2m.

$$\frac{1}{2}m+4=6$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}m=2$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$m=4$$

Substitúe m por 4 en p=-\frac{3}{2}m+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar p directamente.

$$p=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 4.

$$p=-6+4$$

Suma 4 a -6.

$$p=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$p=-2,m=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-3\times 6\\-8+2\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz p e m.

$$p=-2,m=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Para que 2p e p sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2p+3m=8,2p+2\times 2m=2\times 6$$

Simplifica.

$$2p+3m=8,2p+4m=12$$

Resta 2p+4m=12 de 2p+3m=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2p-2p+3m-4m=8-12$$

Suma 2p a -2p. 2p e -2p anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3m-4m=8-12$$

Suma 3m a -4m.

$$-m=8-12$$

Suma 8 a -12.

$$-m=-4$$

Divide ambos lados entre -1.

$$m=4$$

Substitúe m por 4 en p+2m=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar p directamente.

$$p+2\times 4=6$$

Multiplica 2 por 4.

$$p+8=6$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$p=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$p=-2,m=4$$