Resolver {l}{2m+3n=1}{7m+3n=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { 7 m + 3 n = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver m, n

$$m=1$$

$$n=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$2m+3n=1$$

Resta 3n en ambos lados da ecuación.

$$2m=-3n+1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Substitúe m por \frac{-3n+1}{2} na outra ecuación, 7m+3n=6.

$$7\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)+3n=6$$

Multiplica 7 por \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{21}{2}n+\frac{7}{2}+3n=6$$

Suma -\frac{21n}{2} a 3n.

$$-\frac{15}{2}n+\frac{7}{2}=6$$

Resta \frac{7}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{15}{2}n=\frac{5}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{15}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$n=-\frac{1}{3}$$

Substitúe n por -\frac{1}{3} en m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por -\frac{1}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$m=\frac{1+1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a \frac{1}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$m=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 3-3\times 7}&\frac{2}{2\times 3-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\times 6\\\frac{7}{15}-\frac{2}{15}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e n.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

Resta 7m+3n=6 de 2m+3n=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2m-7m+3n-3n=1-6$$

Suma 3n a -3n. 3n e -3n anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2m-7m=1-6$$

Suma 2m a -7m.

$$-5m=1-6$$

Suma 1 a -6.

$$-5m=-5$$

Divide ambos lados entre -5.

$$m=1$$

Substitúe m por 1 en 7m+3n=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar n directamente.

$$7+3n=6$$

Resta 7 en ambos lados da ecuación.

$$3n=-1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$n=-\frac{1}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$