Resolver {l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver m, n

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$2m+3n=1$$

Resta 3n en ambos lados da ecuación.

$$2m=-3n+1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Substitúe m por \frac{-3n+1}{2} na outra ecuación, \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

Multiplica \frac{5}{3} por \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

Suma -\frac{5n}{2} a -2n.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

Resta \frac{5}{6} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{9}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Substitúe n por -\frac{1}{27} en m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por -\frac{1}{27} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a \frac{1}{18} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$m=\frac{5}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e n.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Para que 2m e \frac{5m}{3} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{5}{3} e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

Simplifica.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

Resta \frac{10}{3}m-4n=2 de \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Suma \frac{10m}{3} a -\frac{10m}{3}. \frac{10m}{3} e -\frac{10m}{3} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Suma 5n a 4n.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

Suma \frac{5}{3} a -2.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

Divide ambos lados entre 9.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Substitúe n por -\frac{1}{27} en \frac{5}{3}m-2n=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

Multiplica -2 por -\frac{1}{27}.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

Resta \frac{2}{27} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$m=\frac{5}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$