Resolver {l}{2a=3b}{7a+2b=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b } \\ { 7 a + 2 b = 200 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=24$$

$$b=16$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3b en ambos lados.

$$2a-3b=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$2a-3b=0$$

Suma 3b en ambos lados da ecuación.

$$2a=3b$$

Divide ambos lados entre 2.

$$a=\frac{1}{2}\times 3b$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3b.

$$a=\frac{3}{2}b$$

Substitúe a por \frac{3b}{2} na outra ecuación, 7a+2b=200.

$$7\times \frac{3}{2}b+2b=200$$

Multiplica 7 por \frac{3b}{2}.

$$\frac{21}{2}b+2b=200$$

Suma \frac{21b}{2} a 2b.

$$\frac{25}{2}b=200$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{25}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=16$$

Substitúe b por 16 en a=\frac{3}{2}b. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=\frac{3}{2}\times 16$$

Multiplica \frac{3}{2} por 16.

$$a=24$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=24,b=16$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3b en ambos lados.

$$2a-3b=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 200\\\frac{2}{25}\times 200\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\16\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=24,b=16$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3b en ambos lados.

$$2a-3b=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

Para que 2a e 7a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$7\times 2a+7\left(-3\right)b=0,2\times 7a+2\times 2b=2\times 200$$

Simplifica.

$$14a-21b=0,14a+4b=400$$

Resta 14a+4b=400 de 14a-21b=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$14a-14a-21b-4b=-400$$

Suma 14a a -14a. 14a e -14a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-21b-4b=-400$$

Suma -21b a -4b.

$$-25b=-400$$

Divide ambos lados entre -25.

$$b=16$$

Substitúe b por 16 en 7a+2b=200. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$7a+2\times 16=200$$

Multiplica 2 por 16.

$$7a+32=200$$

Resta 32 en ambos lados da ecuación.

$$7a=168$$

Divide ambos lados entre 7.

$$a=24$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=24,b=16$$