Resolver {l}{2a+3b=4}{3a-8b=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { 3 a - 8 b = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a = \frac{47}{25} = 1\frac{22}{25} = 1.88$$

$$b=\frac{2}{25}=0.08$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$2a+3b=4$$

Resta 3b en ambos lados da ecuación.

$$2a=-3b+4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3b+4.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

Substitúe a por -\frac{3b}{2}+2 na outra ecuación, 3a-8b=5.

$$3\left(-\frac{3}{2}b+2\right)-8b=5$$

Multiplica 3 por -\frac{3b}{2}+2.

$$-\frac{9}{2}b+6-8b=5$$

Suma -\frac{9b}{2} a -8b.

$$-\frac{25}{2}b+6=5$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{25}{2}b=-1$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{25}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=\frac{2}{25}$$

Substitúe b por \frac{2}{25} en a=-\frac{3}{2}b+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{3}{2}\times \frac{2}{25}+2$$

Multiplica -\frac{3}{2} por \frac{2}{25} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=-\frac{3}{25}+2$$

Suma 2 a -\frac{3}{25}.

$$a=\frac{47}{25}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-8\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-8\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-8\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{25}&\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&-\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{25}\times 4+\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 4-\frac{2}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{47}{25}\\\frac{2}{25}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

Para que 2a e 3a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2a+3\times 3b=3\times 4,2\times 3a+2\left(-8\right)b=2\times 5$$

Simplifica.

$$6a+9b=12,6a-16b=10$$

Resta 6a-16b=10 de 6a+9b=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6a-6a+9b+16b=12-10$$

Suma 6a a -6a. 6a e -6a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9b+16b=12-10$$

Suma 9b a 16b.

$$25b=12-10$$

Suma 12 a -10.

$$25b=2$$

Divide ambos lados entre 25.

$$b=\frac{2}{25}$$

Substitúe b por \frac{2}{25} en 3a-8b=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$3a-8\times \frac{2}{25}=5$$

Multiplica -8 por \frac{2}{25}.

$$3a-\frac{16}{25}=5$$

Suma \frac{16}{25} en ambos lados da ecuación.

$$3a=\frac{141}{25}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$a=\frac{47}{25}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$