Resolver {l}{2a+3b=4}{-2a+3b=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { - 2 a + 3 b = - 16 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=5$$

$$b=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$2a+3b=4$$

Resta 3b en ambos lados da ecuación.

$$2a=-3b+4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3b+4.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

Substitúe a por -\frac{3b}{2}+2 na outra ecuación, -2a+3b=-16.

$$-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16$$

Multiplica -2 por -\frac{3b}{2}+2.

$$3b-4+3b=-16$$

Suma 3b a 3b.

$$6b-4=-16$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$6b=-12$$

Divide ambos lados entre 6.

$$b=-2$$

Substitúe b por -2 en a=-\frac{3}{2}b+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

Multiplica -\frac{3}{2} por -2.

$$a=3+2$$

Suma 2 a 3.

$$a=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=5,b=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=5,b=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Resta -2a+3b=-16 de 2a+3b=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2a+2a+3b-3b=4+16$$

Suma 3b a -3b. 3b e -3b anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2a+2a=4+16$$

Suma 2a a 2a.

$$4a=4+16$$

Suma 4 a 16.

$$4a=20$$

Divide ambos lados entre 4.

$$a=5$$

Substitúe a por 5 en -2a+3b=-16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$-2\times 5+3b=-16$$

Multiplica -2 por 5.

$$-10+3b=-16$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$3b=-6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$b=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=5,b=-2$$