Resolver {l}{2-y=2(6x+3)+y}{x+4=3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 - y = 2 ( 6 x + 3 ) + y } \\ { x + 4 = 3 y } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-\frac{10}{19}\approx -0.526315789$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

Resta 12x en ambos lados.

$$2-y-12x=6+y$$

Resta y en ambos lados.

$$2-y-12x-y=6$$

Combina -y e -y para obter -2y.

$$2-2y-12x=6$$

Resta 2 en ambos lados.

$$-2y-12x=6-2$$

Resta 2 de 6 para obter 4.

$$-2y-12x=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x+4-3y=0$$

Resta 4 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-3y=-4$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$-2y-12x=4$$

Suma 12x en ambos lados da ecuación.

$$-2y=12x+4$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=-\frac{1}{2}\left(12x+4\right)$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 12x+4.

$$y=-6x-2$$

Substitúe y por -6x-2 na outra ecuación, -3y+x=-4.

$$-3\left(-6x-2\right)+x=-4$$

Multiplica -3 por -6x-2.

$$18x+6+x=-4$$

Suma 18x a x.

$$19x+6=-4$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$19x=-10$$

Divide ambos lados entre 19.

$$x=-\frac{10}{19}$$

Substitúe x por -\frac{10}{19} en y=-6x-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-6\left(-\frac{10}{19}\right)-2$$

Multiplica -6 por -\frac{10}{19}.

$$y=\frac{60}{19}-2$$

Suma -2 a \frac{60}{19}.

$$y=\frac{22}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

Resta 12x en ambos lados.

$$2-y-12x=6+y$$

Resta y en ambos lados.

$$2-y-12x-y=6$$

Combina -y e -y para obter -2y.

$$2-2y-12x=6$$

Resta 2 en ambos lados.

$$-2y-12x=6-2$$

Resta 2 de 6 para obter 4.

$$-2y-12x=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x+4-3y=0$$

Resta 4 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-3y=-4$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{-12}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}&-\frac{6}{19}\\-\frac{3}{38}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}\times 4-\frac{6}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{38}\times 4+\frac{1}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{10}{19}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

Resta 12x en ambos lados.

$$2-y-12x=6+y$$

Resta y en ambos lados.

$$2-y-12x-y=6$$

Combina -y e -y para obter -2y.

$$2-2y-12x=6$$

Resta 2 en ambos lados.

$$-2y-12x=6-2$$

Resta 2 de 6 para obter 4.

$$-2y-12x=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x+4-3y=0$$

Resta 4 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-3y=-4$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

Para que -2y e -3y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por -2.

$$-3\left(-2\right)y-3\left(-12\right)x=-3\times 4,-2\left(-3\right)y-2x=-2\left(-4\right)$$

Simplifica.

$$6y+36x=-12,6y-2x=8$$

Resta 6y-2x=8 de 6y+36x=-12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6y-6y+36x+2x=-12-8$$

Suma 6y a -6y. 6y e -6y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$36x+2x=-12-8$$

Suma 36x a 2x.

$$38x=-12-8$$

Suma -12 a -8.

$$38x=-20$$

Divide ambos lados entre 38.

$$x=-\frac{10}{19}$$

Substitúe x por -\frac{10}{19} en -3y+x=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-3y-\frac{10}{19}=-4$$

Suma \frac{10}{19} en ambos lados da ecuación.

$$-3y=-\frac{66}{19}$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=\frac{22}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$