Resolver {l}{2(x+3)=3(y+1)+1}{3(x-y-1)=2(x-2)+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) + 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Suma 3 e 1 para obter 4.

$$2x+6=3y+4$$

Resta 3y en ambos lados.

$$2x+6-3y=4$$

Resta 6 en ambos lados.

$$2x-3y=4-6$$

Resta 6 de 4 para obter -2.

$$2x-3y=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-2.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

Suma -4 e 3 para obter -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

Resta 2x en ambos lados.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

Combina 3x e -2x para obter x.

$$x-3y-3=-1$$

Engadir 3 en ambos lados.

$$x-3y=-1+3$$

Suma -1 e 3 para obter 2.

$$x-3y=2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=-2$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y-2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Substitúe x por \frac{3y}{2}-1 na outra ecuación, x-3y=2.

$$\frac{3}{2}y-1-3y=2$$

Suma \frac{3y}{2} a -3y.

$$-\frac{3}{2}y-1=2$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{2}y=3$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=\frac{3}{2}y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)-1$$

Multiplica \frac{3}{2} por -2.

$$x=-3-1$$

Suma -1 a -3.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Suma 3 e 1 para obter 4.

$$2x+6=3y+4$$

Resta 3y en ambos lados.

$$2x+6-3y=4$$

Resta 6 en ambos lados.

$$2x-3y=4-6$$

Resta 6 de 4 para obter -2.

$$2x-3y=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-2.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

Suma -4 e 3 para obter -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

Resta 2x en ambos lados.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

Combina 3x e -2x para obter x.

$$x-3y-3=-1$$

Engadir 3 en ambos lados.

$$x-3y=-1+3$$

Suma -1 e 3 para obter 2.

$$x-3y=2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-2\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Suma 3 e 1 para obter 4.

$$2x+6=3y+4$$

Resta 3y en ambos lados.

$$2x+6-3y=4$$

Resta 6 en ambos lados.

$$2x-3y=4-6$$

Resta 6 de 4 para obter -2.

$$2x-3y=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-2.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

Suma -4 e 3 para obter -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

Resta 2x en ambos lados.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

Combina 3x e -2x para obter x.

$$x-3y-3=-1$$

Engadir 3 en ambos lados.

$$x-3y=-1+3$$

Suma -1 e 3 para obter 2.

$$x-3y=2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Resta x-3y=2 de 2x-3y=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-x-3y+3y=-2-2$$

Suma -3y a 3y. -3y e 3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x-x=-2-2$$

Suma 2x a -x.

$$x=-2-2$$

Suma -2 a -2.

$$x=-4$$

Substitúe x por -4 en x-3y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-4-3y=2$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-2$$