Resolver {l}{2(2x-3)+3(y+4)=7}{4(x+2)-5(2-y)=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x - 3 ) + 3 ( y + 4 ) = 7 } \\ { 4 ( x + 2 ) - 5 ( 2 - y ) = - 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

Multiplica 2 por 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

Multiplica 3 por y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

Suma -6 a 12.

$$4x+3y+6=7$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$4x+3y=1$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-3y+1$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -3y+1.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Substitúe x por \frac{-3y+1}{4} na outra ecuación, 4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Suma \frac{1}{4} a 2.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Multiplica 4 por \frac{-3y+9}{4}.

$$-3y+9-5\left(-y+2\right)=-3$$

Multiplica -5 por -y+2.

$$-3y+9+5y-10=-3$$

Suma -3y a 5y.

$$2y+9-10=-3$$

Suma 9 a -10.

$$2y-1=-3$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$2y=-2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por -1.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

Suma \frac{1}{4} a \frac{3}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Simplifica a primeira ecuación para convertela a forma estándar.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

Multiplica 2 por 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

Multiplica 3 por y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

Suma -6 a 12.

$$4x+3y+6=7$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$4x+3y=1$$

Simplifica a segunda ecuación para convertela a forma estándar.

$$4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Multiplica 4 por x+2.

$$4x+8-5\left(-y+2\right)=-3$$

Multiplica -5 por -y+2.

$$4x+8+5y-10=-3$$

Suma 8 a -10.

$$4x+5y-2=-3$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$4x+5y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-3\times 4}&\frac{4}{4\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}-\frac{3}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=-1$$