Resolver {l}{16m+50n=55}{2m+4n=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 m + 50 n = 55 } \\ { 2 m + 4 n = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver m, n

$$m=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$n=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$16m+50n=55$$

Resta 50n en ambos lados da ecuación.

$$16m=-50n+55$$

Divide ambos lados entre 16.

$$m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)$$

Multiplica \frac{1}{16} por -50n+55.

$$m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}$$

Substitúe m por -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} na outra ecuación, 2m+4n=5.

$$2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5$$

Multiplica 2 por -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}.

$$-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5$$

Suma -\frac{25n}{4} a 4n.

$$-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5$$

Resta \frac{55}{8} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{9}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$n=\frac{5}{6}$$

Substitúe n por \frac{5}{6} en m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}$$

Multiplica -\frac{25}{8} por \frac{5}{6} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}$$

Suma \frac{55}{16} a -\frac{125}{48} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$m=\frac{5}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e n.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Para que 16m e 2m sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 16.

$$2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5$$

Simplifica.

$$32m+100n=110,32m+64n=80$$

Resta 32m+64n=80 de 32m+100n=110 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$32m-32m+100n-64n=110-80$$

Suma 32m a -32m. 32m e -32m anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$100n-64n=110-80$$

Suma 100n a -64n.

$$36n=110-80$$

Suma 110 a -80.

$$36n=30$$

Divide ambos lados entre 36.

$$n=\frac{5}{6}$$

Substitúe n por \frac{5}{6} en 2m+4n=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$2m+4\times \frac{5}{6}=5$$

Multiplica 4 por \frac{5}{6}.

$$2m+\frac{10}{3}=5$$

Resta \frac{10}{3} en ambos lados da ecuación.

$$2m=\frac{5}{3}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$m=\frac{5}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$