Resolver {l}{1530=16x+2y}{817x+110y=77715}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1530 = 16 x + 2 y } \\ { 817 x + 110 y = 77715 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{715}{7} = 102\frac{1}{7} \approx 102.142857143$$

$$y = -\frac{365}{7} = -52\frac{1}{7} \approx -52.142857143$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$16x+2y=1530$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$16x+2y=1530$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$16x=-2y+1530$$

Divide ambos lados entre 16.

$$x=\frac{1}{16}\left(-2y+1530\right)$$

Multiplica \frac{1}{16} por -2y+1530.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8}$$

Substitúe x por \frac{-y+765}{8} na outra ecuación, 817x+110y=77715.

$$817\left(-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8}\right)+110y=77715$$

Multiplica 817 por \frac{-y+765}{8}.

$$-\frac{817}{8}y+\frac{625005}{8}+110y=77715$$

Suma -\frac{817y}{8} a 110y.

$$\frac{63}{8}y+\frac{625005}{8}=77715$$

Resta \frac{625005}{8} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{63}{8}y=-\frac{3285}{8}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{63}{8}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{365}{7}$$

Substitúe y por -\frac{365}{7} en x=-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-\frac{365}{7}\right)+\frac{765}{8}$$

Multiplica -\frac{1}{8} por -\frac{365}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{365}{56}+\frac{765}{8}$$

Suma \frac{765}{8} a \frac{365}{56} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{715}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$16x+2y=1530$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{110}{16\times 110-2\times 817}&-\frac{2}{16\times 110-2\times 817}\\-\frac{817}{16\times 110-2\times 817}&\frac{16}{16\times 110-2\times 817}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{63}&-\frac{1}{63}\\-\frac{817}{126}&\frac{8}{63}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{63}\times 1530-\frac{1}{63}\times 77715\\-\frac{817}{126}\times 1530+\frac{8}{63}\times 77715\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{715}{7}\\-\frac{365}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$16x+2y=1530$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

Para que 16x e 817x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 817 e todos os termos a cada lado da segunda por 16.

$$817\times 16x+817\times 2y=817\times 1530,16\times 817x+16\times 110y=16\times 77715$$

Simplifica.

$$13072x+1634y=1250010,13072x+1760y=1243440$$

Resta 13072x+1760y=1243440 de 13072x+1634y=1250010 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$13072x-13072x+1634y-1760y=1250010-1243440$$

Suma 13072x a -13072x. 13072x e -13072x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$1634y-1760y=1250010-1243440$$

Suma 1634y a -1760y.

$$-126y=1250010-1243440$$

Suma 1250010 a -1243440.

$$-126y=6570$$

Divide ambos lados entre -126.

$$y=-\frac{365}{7}$$

Substitúe y por -\frac{365}{7} en 817x+110y=77715. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$817x+110\left(-\frac{365}{7}\right)=77715$$

Multiplica 110 por -\frac{365}{7}.

$$817x-\frac{40150}{7}=77715$$

Suma \frac{40150}{7} en ambos lados da ecuación.

$$817x=\frac{584155}{7}$$

Divide ambos lados entre 817.

$$x=\frac{715}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$