Resolver {l}{14x-3y=-63}{7x+2y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 14 x - 3 y = - 63 } \\ { 7 x + 2 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$14x-3y=-63$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$14x=3y-63$$

Divide ambos lados entre 14.

$$x=\frac{1}{14}\left(3y-63\right)$$

Multiplica \frac{1}{14} por -63+3y.

$$x=\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}$$

Substitúe x por \frac{3y}{14}-\frac{9}{2} na outra ecuación, 7x+2y=-7.

$$7\left(\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}\right)+2y=-7$$

Multiplica 7 por \frac{3y}{14}-\frac{9}{2}.

$$\frac{3}{2}y-\frac{63}{2}+2y=-7$$

Suma \frac{3y}{2} a 2y.

$$\frac{7}{2}y-\frac{63}{2}=-7$$

Suma \frac{63}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{2}y=\frac{49}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en x=\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{14}\times 7-\frac{9}{2}$$

Multiplica \frac{3}{14} por 7.

$$x=\frac{3-9}{2}$$

Suma -\frac{9}{2} a \frac{3}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{14}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{49}&\frac{3}{49}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{49}\left(-63\right)+\frac{3}{49}\left(-7\right)\\-\frac{1}{7}\left(-63\right)+\frac{2}{7}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

Para que 14x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 14.

$$7\times 14x+7\left(-3\right)y=7\left(-63\right),14\times 7x+14\times 2y=14\left(-7\right)$$

Simplifica.

$$98x-21y=-441,98x+28y=-98$$

Resta 98x+28y=-98 de 98x-21y=-441 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$98x-98x-21y-28y=-441+98$$

Suma 98x a -98x. 98x e -98x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-21y-28y=-441+98$$

Suma -21y a -28y.

$$-49y=-441+98$$

Suma -441 a 98.

$$-49y=-343$$

Divide ambos lados entre -49.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en 7x+2y=-7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x+2\times 7=-7$$

Multiplica 2 por 7.

$$7x+14=-7$$

Resta 14 en ambos lados da ecuación.

$$7x=-21$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=7$$