Resolver {l}{11x+19y=25}{19x+11y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$11x+19y=25$$

Resta 19y en ambos lados da ecuación.

$$11x=-19y+25$$

Divide ambos lados entre 11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

Multiplica \frac{1}{11} por -19y+25.

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

Substitúe x por \frac{-19y+25}{11} na outra ecuación, 19x+11y=15.

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

Multiplica 19 por \frac{-19y+25}{11}.

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

Suma -\frac{361y}{11} a 11y.

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

Resta \frac{475}{11} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{240}{11}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{31}{24}$$

Substitúe y por \frac{31}{24} en x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

Multiplica -\frac{19}{11} por \frac{31}{24} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

Suma \frac{25}{11} a -\frac{589}{264} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{24}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Para que 11x e 19x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 19 e todos os termos a cada lado da segunda por 11.

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

Simplifica.

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

Resta 209x+121y=165 de 209x+361y=475 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

Suma 209x a -209x. 209x e -209x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$361y-121y=475-165$$

Suma 361y a -121y.

$$240y=475-165$$

Suma 475 a -165.

$$240y=310$$

Divide ambos lados entre 240.

$$y=\frac{31}{24}$$

Substitúe y por \frac{31}{24} en 19x+11y=15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

Multiplica 11 por \frac{31}{24}.

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

Resta \frac{341}{24} en ambos lados da ecuación.

$$19x=\frac{19}{24}$$

Divide ambos lados entre 19.

$$x=\frac{1}{24}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$