Resolver {l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=7$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 6y en ambos lados.

$$10x+y-6y=5$$

Combina y e -6y para obter -5y.

$$10x-5y=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 10x en ambos lados.

$$10y+x-10x=y+27$$

Combina x e -10x para obter -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Resta y en ambos lados.

$$10y-9x-y=27$$

Combina 10y e -y para obter 9y.

$$9y-9x=27$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$10x-5y=5$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$10x=5y+5$$

Divide ambos lados entre 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{10} por 5+5y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por \frac{1+y}{2} na outra ecuación, -9x+9y=27.

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

Multiplica -9 por \frac{1+y}{2}.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

Suma -\frac{9y}{2} a 9y.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

Suma \frac{9}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{9}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Multiplica \frac{1}{2} por 7.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a \frac{7}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=7$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 6y en ambos lados.

$$10x+y-6y=5$$

Combina y e -6y para obter -5y.

$$10x-5y=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 10x en ambos lados.

$$10y+x-10x=y+27$$

Combina x e -10x para obter -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Resta y en ambos lados.

$$10y-9x-y=27$$

Combina 10y e -y para obter 9y.

$$9y-9x=27$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=7$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 6y en ambos lados.

$$10x+y-6y=5$$

Combina y e -6y para obter -5y.

$$10x-5y=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 10x en ambos lados.

$$10y+x-10x=y+27$$

Combina x e -10x para obter -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Resta y en ambos lados.

$$10y-9x-y=27$$

Combina 10y e -y para obter 9y.

$$9y-9x=27$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Para que 10x e -9x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -9 e todos os termos a cada lado da segunda por 10.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

Simplifica.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

Resta -90x+90y=270 de -90x+45y=-45 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

Suma -90x a 90x. -90x e 90x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$45y-90y=-45-270$$

Suma 45y a -90y.

$$-45y=-45-270$$

Suma -45 a -270.

$$-45y=-315$$

Divide ambos lados entre -45.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en -9x+9y=27. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-9x+9\times 7=27$$

Multiplica 9 por 7.

$$-9x+63=27$$

Resta 63 en ambos lados da ecuación.

$$-9x=-36$$

Divide ambos lados entre -9.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=7$$