Resolver {l}{10x+5y=170}{6x+10y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=10$$

$$y=14$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$10x+5y=170$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$10x=-5y+170$$

Divide ambos lados entre 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

Multiplica \frac{1}{10} por -5y+170.

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+17 na outra ecuación, 6x+10y=200.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

Multiplica 6 por -\frac{y}{2}+17.

$$-3y+102+10y=200$$

Suma -3y a 10y.

$$7y+102=200$$

Resta 102 en ambos lados da ecuación.

$$7y=98$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=14$$

Substitúe y por 14 en x=-\frac{1}{2}y+17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 14.

$$x=-7+17$$

Suma 17 a -7.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=14$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=10,y=14$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Para que 10x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 10.

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

Simplifica.

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

Resta 60x+100y=2000 de 60x+30y=1020 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

Suma 60x a -60x. 60x e -60x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$30y-100y=1020-2000$$

Suma 30y a -100y.

$$-70y=1020-2000$$

Suma 1020 a -2000.

$$-70y=-980$$

Divide ambos lados entre -70.

$$y=14$$

Substitúe y por 14 en 6x+10y=200. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+10\times 14=200$$

Multiplica 10 por 14.

$$6x+140=200$$

Resta 140 en ambos lados da ecuación.

$$6x=60$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=14$$