Resolver {l}{10x+10y=9}{5x-2y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 10 y = 9 } \\ { 5 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$10x+10y=9$$

Resta 10y en ambos lados da ecuación.

$$10x=-10y+9$$

Divide ambos lados entre 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-10y+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{10} por -10y+9.

$$x=-y+\frac{9}{10}$$

Substitúe x por -y+\frac{9}{10} na outra ecuación, 5x-2y=1.

$$5\left(-y+\frac{9}{10}\right)-2y=1$$

Multiplica 5 por -y+\frac{9}{10}.

$$-5y+\frac{9}{2}-2y=1$$

Suma -5y a -2y.

$$-7y+\frac{9}{2}=1$$

Resta \frac{9}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-7y=-\frac{7}{2}$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=\frac{1}{2}$$

Substitúe y por \frac{1}{2} en x=-y+\frac{9}{10}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{9}{10}$$

Suma \frac{9}{10} a -\frac{1}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{2}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-10\times 5}&-\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\\-\frac{5}{10\left(-2\right)-10\times 5}&\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}\times 9+\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}\times 9-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

Para que 10x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 10.

$$5\times 10x+5\times 10y=5\times 9,10\times 5x+10\left(-2\right)y=10$$

Simplifica.

$$50x+50y=45,50x-20y=10$$

Resta 50x-20y=10 de 50x+50y=45 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$50x-50x+50y+20y=45-10$$

Suma 50x a -50x. 50x e -50x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$50y+20y=45-10$$

Suma 50y a 20y.

$$70y=45-10$$

Suma 45 a -10.

$$70y=35$$

Divide ambos lados entre 70.

$$y=\frac{1}{2}$$

Substitúe y por \frac{1}{2} en 5x-2y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-2\times \frac{1}{2}=1$$

Multiplica -2 por \frac{1}{2}.

$$5x-1=1$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$5x=2$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{2}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$