Resolver {l}{10a+b=10}{50a+b=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 a + b = 10 } \\ { 50 a + b = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=-\frac{1}{10}=-0.1$$

$$b=11$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$10a+b=10,50a+b=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$10a+b=10$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$10a=-b+10$$

Divide ambos lados entre 10.

$$a=\frac{1}{10}\left(-b+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{10} por -b+10.

$$a=-\frac{1}{10}b+1$$

Substitúe a por -\frac{b}{10}+1 na outra ecuación, 50a+b=6.

$$50\left(-\frac{1}{10}b+1\right)+b=6$$

Multiplica 50 por -\frac{b}{10}+1.

$$-5b+50+b=6$$

Suma -5b a b.

$$-4b+50=6$$

Resta 50 en ambos lados da ecuación.

$$-4b=-44$$

Divide ambos lados entre -4.

$$b=11$$

Substitúe b por 11 en a=-\frac{1}{10}b+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{1}{10}\times 11+1$$

Multiplica -\frac{1}{10} por 11.

$$a=-\frac{11}{10}+1$$

Suma 1 a -\frac{11}{10}.

$$a=-\frac{1}{10}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-\frac{1}{10},b=11$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$10a+b=10,50a+b=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}10&1\\50&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}10&1\\50&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\50&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\50&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\50&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\50&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\50&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-50}&-\frac{1}{10-50}\\-\frac{50}{10-50}&\frac{10}{10-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{40}&\frac{1}{40}\\\frac{5}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{40}\times 10+\frac{1}{40}\times 6\\\frac{5}{4}\times 10-\frac{1}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\\11\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=-\frac{1}{10},b=11$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$10a+b=10,50a+b=6$$

Resta 50a+b=6 de 10a+b=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10a-50a+b-b=10-6$$

Suma b a -b. b e -b anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10a-50a=10-6$$

Suma 10a a -50a.

$$-40a=10-6$$

Suma 10 a -6.

$$-40a=4$$

Divide ambos lados entre -40.

$$a=-\frac{1}{10}$$

Substitúe a por -\frac{1}{10} en 50a+b=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$50\left(-\frac{1}{10}\right)+b=6$$

Multiplica 50 por -\frac{1}{10}.

$$-5+b=6$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$b=11$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-\frac{1}{10},b=11$$