Resolver {l}{1.5x-3.5y=-5}{-1.2x+2.5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1.5 x - 3.5 y = - 5 } \\ { - 1.2 x + 2.5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=20$$

$$y=10$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$1.5x-3.5y=-5$$

Suma \frac{7y}{2} en ambos lados da ecuación.

$$1.5x=3.5y-5$$

Divide ambos lados da ecuación entre 1.5, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{2}{3}\left(3.5y-5\right)$$

Multiplica \frac{2}{3} por \frac{7y}{2}-5.

$$x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}$$

Substitúe x por \frac{7y-10}{3} na outra ecuación, -1.2x+2.5y=1.

$$-1.2\left(\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}\right)+2.5y=1$$

Multiplica -1.2 por \frac{7y-10}{3}.

$$-2.8y+4+2.5y=1$$

Suma -\frac{14y}{5} a \frac{5y}{2}.

$$-0.3y+4=1$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$-0.3y=-3$$

Divide ambos lados da ecuación entre -0.3, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{7}{3}\times 10-\frac{10}{3}$$

Multiplica \frac{7}{3} por 10.

$$x=\frac{70-10}{3}$$

Suma -\frac{10}{3} a \frac{70}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=20$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=20,y=10$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&-\frac{-3.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\\-\frac{-1.2}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&\frac{1.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}&-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}\left(-5\right)-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}\left(-5\right)-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=20,y=10$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

Para que \frac{3x}{2} e -\frac{6x}{5} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1.2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.5.

$$-1.2\times 1.5x-1.2\left(-3.5\right)y=-1.2\left(-5\right),1.5\left(-1.2\right)x+1.5\times 2.5y=1.5$$

Simplifica.

$$-1.8x+4.2y=6,-1.8x+3.75y=1.5$$

Resta -1.8x+3.75y=1.5 de -1.8x+4.2y=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-1.8x+1.8x+4.2y-3.75y=6-1.5$$

Suma -\frac{9x}{5} a \frac{9x}{5}. -\frac{9x}{5} e \frac{9x}{5} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4.2y-3.75y=6-1.5$$

Suma \frac{21y}{5} a -\frac{15y}{4}.

$$0.45y=6-1.5$$

Suma 6 a -1.5.

$$0.45y=4.5$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.45, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en -1.2x+2.5y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-1.2x+2.5\times 10=1$$

Multiplica 2.5 por 10.

$$-1.2x+25=1$$

Resta 25 en ambos lados da ecuación.

$$-1.2x=-24$$

Divide ambos lados da ecuación entre -1.2, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=20$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=20,y=10$$