Resolver {l}{0.5x-0.8y+9=4}{x/3+y/5=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x - 0.8 y + 9 = 4 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=10$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$0.5x-0.8y+9=4$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$0.5x-0.8y=-5$$

Suma \frac{4y}{5} en ambos lados da ecuación.

$$0.5x=0.8y-5$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$x=2\left(0.8y-5\right)$$

Multiplica 2 por \frac{4y}{5}-5.

$$x=1.6y-10$$

Substitúe x por \frac{8y}{5}-10 na outra ecuación, \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4.

$$\frac{1}{3}\left(1.6y-10\right)+\frac{1}{5}y=4$$

Multiplica \frac{1}{3} por \frac{8y}{5}-10.

$$\frac{8}{15}y-\frac{10}{3}+\frac{1}{5}y=4$$

Suma \frac{8y}{15} a \frac{y}{5}.

$$\frac{11}{15}y-\frac{10}{3}=4$$

Suma \frac{10}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{11}{15}y=\frac{22}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{15}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en x=1.6y-10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=1.6\times 10-10$$

Multiplica 1.6 por 10.

$$x=16-10$$

Suma -10 a 16.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=10$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{5}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&-\frac{-0.8}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&\frac{0.5}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{24}{11}\\-\frac{10}{11}&\frac{15}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\left(-5\right)+\frac{24}{11}\times 4\\-\frac{10}{11}\left(-5\right)+\frac{15}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=10$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

Para que \frac{x}{2} e \frac{x}{3} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{1}{3} e todos os termos a cada lado da segunda por 0.5.

$$\frac{1}{3}\times 0.5x+\frac{1}{3}\left(-0.8\right)y+\frac{1}{3}\times 9=\frac{1}{3}\times 4,0.5\times \frac{1}{3}x+0.5\times \frac{1}{5}y=0.5\times 4$$

Simplifica.

$$\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2$$

Resta \frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2 de \frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Suma \frac{x}{6} a -\frac{x}{6}. \frac{x}{6} e -\frac{x}{6} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Suma -\frac{4y}{15} a -\frac{y}{10}.

$$-\frac{11}{30}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Suma \frac{4}{3} a -2.

$$-\frac{11}{30}y+3=-\frac{2}{3}$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{11}{30}y=-\frac{11}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{11}{30}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times 10=4$$

Multiplica \frac{1}{5} por 10.

$$\frac{1}{3}x+2=4$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{3}x=2$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=10$$