Resolver {l}{0.5x+0.7y=35}{x+0.4y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x + 0.7 y = 35 } \\ { x + 0.4 y = 40 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=28$$

$$y=30$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$0.5x+0.7y=35$$

Resta \frac{7y}{10} en ambos lados da ecuación.

$$0.5x=-0.7y+35$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$x=2\left(-0.7y+35\right)$$

Multiplica 2 por -\frac{7y}{10}+35.

$$x=-1.4y+70$$

Substitúe x por -\frac{7y}{5}+70 na outra ecuación, x+0.4y=40.

$$-1.4y+70+0.4y=40$$

Suma -\frac{7y}{5} a \frac{2y}{5}.

$$-y+70=40$$

Resta 70 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-30$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=30$$

Substitúe y por 30 en x=-1.4y+70. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-1.4\times 30+70$$

Multiplica -1.4 por 30.

$$x=-42+70$$

Suma 70 a -42.

$$x=28$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=28,y=30$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.5\times 0.4-0.7}&-\frac{0.7}{0.5\times 0.4-0.7}\\-\frac{1}{0.5\times 0.4-0.7}&\frac{0.5}{0.5\times 0.4-0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8&1.4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\times 35+1.4\times 40\\2\times 35-40\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\30\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=28,y=30$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Para que \frac{x}{2} e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 0.5.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.5\times 0.4y=0.5\times 40$$

Simplifica.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.2y=20$$

Resta 0.5x+0.2y=20 de 0.5x+0.7y=35 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$0.5x-0.5x+0.7y-0.2y=35-20$$

Suma \frac{x}{2} a -\frac{x}{2}. \frac{x}{2} e -\frac{x}{2} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$0.7y-0.2y=35-20$$

Suma \frac{7y}{10} a -\frac{y}{5}.

$$0.5y=35-20$$

Suma 35 a -20.

$$0.5y=15$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$y=30$$

Substitúe y por 30 en x+0.4y=40. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+0.4\times 30=40$$

Multiplica 0.4 por 30.

$$x+12=40$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$x=28$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=28,y=30$$