Resolver {l}{0.4x+0.3y=0.7}{11x-10y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.3 y = 0.7 } \\ { 11 x - 10 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$0.4x+0.3y=0.7,11x-10y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$0.4x+0.3y=0.7$$

Resta \frac{3y}{10} en ambos lados da ecuación.

$$0.4x=-0.3y+0.7$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.4, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=2.5\left(-0.3y+0.7\right)$$

Multiplica 2.5 por \frac{-3y+7}{10}.

$$x=-0.75y+1.75$$

Substitúe x por \frac{-3y+7}{4} na outra ecuación, 11x-10y=1.

$$11\left(-0.75y+1.75\right)-10y=1$$

Multiplica 11 por \frac{-3y+7}{4}.

$$-8.25y+19.25-10y=1$$

Suma -\frac{33y}{4} a -10y.

$$-18.25y+19.25=1$$

Resta 19.25 en ambos lados da ecuación.

$$-18.25y=-18.25$$

Divide ambos lados da ecuación entre -18.25, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=-0.75y+1.75. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{-3+7}{4}$$

Suma 1.75 a -0.75 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$0.4x+0.3y=0.7,11x-10y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{0.4\left(-10\right)-0.3\times 11}&-\frac{0.3}{0.4\left(-10\right)-0.3\times 11}\\-\frac{11}{0.4\left(-10\right)-0.3\times 11}&\frac{0.4}{0.4\left(-10\right)-0.3\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{73}&\frac{3}{73}\\\frac{110}{73}&-\frac{4}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{73}\times 0.7+\frac{3}{73}\\\frac{110}{73}\times 0.7-\frac{4}{73}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$0.4x+0.3y=0.7,11x-10y=1$$

Para que \frac{2x}{5} e 11x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 11 e todos os termos a cada lado da segunda por 0.4.

$$11\times 0.4x+11\times 0.3y=11\times 0.7,0.4\times 11x+0.4\left(-10\right)y=0.4$$

Simplifica.

$$4.4x+3.3y=7.7,4.4x-4y=0.4$$

Resta 4.4x-4y=0.4 de 4.4x+3.3y=7.7 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4.4x-4.4x+3.3y+4y=7.7-0.4$$

Suma \frac{22x}{5} a -\frac{22x}{5}. \frac{22x}{5} e -\frac{22x}{5} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3.3y+4y=7.7-0.4$$

Suma \frac{33y}{10} a 4y.

$$7.3y=7.7-0.4$$

Suma 7.7 a -0.4 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$7.3y=7.3$$

Divide ambos lados da ecuación entre 7.3, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en 11x-10y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$11x-10=1$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$11x=11$$

Divide ambos lados entre 11.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=1$$