Resolver {l}{0.3x-0.5y=29}{0.9x=0.2y+19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x - 0.5 y = 29 } \\ { 0.9 x = 0.2 y + 19 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{370}{39} = 9\frac{19}{39} \approx 9.487179487$$

$$y = -\frac{680}{13} = -52\frac{4}{13} \approx -52.307692308$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 0.2y en ambos lados.

$$0.9x-0.2y=19$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$0.3x-0.5y=29$$

Suma \frac{y}{2} en ambos lados da ecuación.

$$0.3x=0.5y+29$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.3, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{10}{3}\left(0.5y+29\right)$$

Multiplica \frac{10}{3} por \frac{y}{2}+29.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}$$

Substitúe x por \frac{5y+290}{3} na outra ecuación, 0.9x-0.2y=19.

$$0.9\left(\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}\right)-0.2y=19$$

Multiplica 0.9 por \frac{5y+290}{3}.

$$1.5y+87-0.2y=19$$

Suma \frac{3y}{2} a -\frac{y}{5}.

$$1.3y+87=19$$

Resta 87 en ambos lados da ecuación.

$$1.3y=-68$$

Divide ambos lados da ecuación entre 1.3, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{680}{13}$$

Substitúe y por -\frac{680}{13} en x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{680}{13}\right)+\frac{290}{3}$$

Multiplica \frac{5}{3} por -\frac{680}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{3400}{39}+\frac{290}{3}$$

Suma \frac{290}{3} a -\frac{3400}{39} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{370}{39}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 0.2y en ambos lados.

$$0.9x-0.2y=19$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&-\frac{-0.5}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\\-\frac{0.9}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&\frac{0.3}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}&\frac{50}{39}\\-\frac{30}{13}&\frac{10}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}\times 29+\frac{50}{39}\times 19\\-\frac{30}{13}\times 29+\frac{10}{13}\times 19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{370}{39}\\-\frac{680}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 0.2y en ambos lados.

$$0.9x-0.2y=19$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

Para que \frac{3x}{10} e \frac{9x}{10} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 0.9 e todos os termos a cada lado da segunda por 0.3.

$$0.9\times 0.3x+0.9\left(-0.5\right)y=0.9\times 29,0.3\times 0.9x+0.3\left(-0.2\right)y=0.3\times 19$$

Simplifica.

$$0.27x-0.45y=26.1,0.27x-0.06y=5.7$$

Resta 0.27x-0.06y=5.7 de 0.27x-0.45y=26.1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$0.27x-0.27x-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

Suma \frac{27x}{100} a -\frac{27x}{100}. \frac{27x}{100} e -\frac{27x}{100} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

Suma -\frac{9y}{20} a \frac{3y}{50}.

$$-0.39y=\frac{261-57}{10}$$

Suma 26.1 a -5.7 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-0.39y=20.4$$

Divide ambos lados da ecuación entre -0.39, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{680}{13}$$

Substitúe y por -\frac{680}{13} en 0.9x-0.2y=19. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$0.9x-0.2\left(-\frac{680}{13}\right)=19$$

Multiplica -0.2 por -\frac{680}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$0.9x+\frac{136}{13}=19$$

Resta \frac{136}{13} en ambos lados da ecuación.

$$0.9x=\frac{111}{13}$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.9, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{370}{39}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$